kategorie: matematyka
Witam Państwa,
METODA TRAPEZÓW
Pokażemy dzisiaj jak w łatwy sposób obliczyć aproksymację danego pola stosując metodę trapezów, mającą na celu umożliwienie lepszego obliczenia wartości danego pola niż poprzez tradycyjne podzielenie ów pola na prostokąty. Jak zatem ów metoda działa? Żeby na to pytanie odpowiedzieć należałoby sobie przypomnieć jak policzyliśmy ostatnio lewo prawo lub środkową sumę Riemanna. Otóż braliśmy n prostokątów o podstawie \(\Delta x\) następnie liczyliśmy pola ów prostokątów i sumowaliśmy (tak w skrócie). Metoda trapezów wygląda bardzo podobnie. Wystarczy powiedzieć sobie na ile części podzielimy nasze pola względem osi odciętych, a następnie wymagany odcinek podzielić przez liczbę ów odcinków w celu otrzymania końcowej długości naszego \(\Delta x\), by później w zależności od tego wyznaczyć zarówno lewą jak i prawą podstawę naszego trapezu, bowiem wysokość naszego trapezu to właśnie ów \(\Delta x\). Wzór na pole trapezu dany jest następująco: $$Pt = 0.5 * (a + b) * h$$ Widzimy zatem, iż posiadając już ów dane jesteśmy w stanie obliczyć pole, ów trapezu. Znając zatem punkt początkowy na osi OX, od którego obliczamy nasze pole, Znamy także długość lewej podstawy, a także długość prawej podstawy, bo jeżeli funkcja, pod którą pole chcemy policzyć dana jest jako f(x), to prawa podstawa będzie równa koniecznie: $$f(x_0 + \Delta x)$$ gdzie x0 to punkt początkowy. Będziesz mógł obejrzeć parę rysunków, które dodatkowo myślę będą mogły przybliżyć Ci to zagadnienie poniżej, jednak to w swoim czasie...
SUMA RIEMANNA W NOTACJI SIGMA
Są jeszcze jednak dwa tematy, które bardzo chciałbym jeszcze poruszyć, mianowicie: notacja sigma oraz zapisywanie sumy Riemanna w notacji sigma. Zacznę może troszkę nietypowo, jednak chcę abyśmy właśnie zaczęli od pewnego przykładu mogącego zobrazować Państwu, dlaczego możemy się właśnie posłużyć symbolem sigmy (sumy) aby obliczyć pole na pewnym przedziale danej funkcji. Powiedzmy zatem, że mamy pewną funkcję daną jako: $$f(x) = \sqrt{x}$$. Możesz ją sobie wyobrazić jako nieco obciętą funkcję logarytmiczną o podstawie większej od 1, bo nie rozważamy jej w oparciu o liczby ujemne (nie na tym poziomie). Chcemy obliczyć pole tej funkcji przy użyciu notacji sigma na przedziale od 1 do 5 przy użyciu czterech prostokątów o równym \(\Delta x\), zatem obliczamy całkowitą długość przedziału jako 4 (5 - 1), a następnie dzielimy ją na 4 w celu otrzymania naszego \(\Delta x\). Zatem \(\Delta x\) wyszło nam 1. Teraz nasuwa się pytanie: Czy chcemy żeby nasza suma była lewo czy prawostronna? Dla celów poglądowych pokażmy jak wygląda to dla sumy prawostronnej (będziemy brać wartości funkcji w prawym rogu \(\Delta x\) (dolnego boku prostokąta). Zaczynamy zatem w 1 i przesuwamy się następnie o \(\Delta x\) = 1 i to dopiero wartość od tego argumentu będzie nas interesować dla pierwszego prostokąta. Będzie to zatem wzór: 1 + 1, dla kolejnego (\(x_i\)) będzie to 1 + 2, dla kolejnego 1 + 3. Widzimy zatem, że ogólnie \(x_i\) możemy określić jako $$x_i = 1 + 1 * i$$, gdzie i symbolizuje kolejne wartości. Wysokość prostokąta to natomiast wartość funkcji na jej prawym brzegu. $$f(x_i) = \sqrt{x_i} = \sqrt{1 + 1 * i}$$. Ogólne zatem wyrażenie na pole będzie postaci: $$1 * \sqrt{1 + 1 * i}$$. Teraz zatem jedynie należy zsumować to wyrażenie pod symbolem sigmy, zatem suma od i = 1 do 4, z wyrażenia: \(1 * \sqrt{1 + 1 * i}\), czyli: $$\sum\limits_{i=1}^4 (1 * \sqrt{1 + 1 * i})$$ i to tyle, określiliśmy właśnie przy użyciu notacji sigma prostą sumę Riemanna 🙂. Dobra omówmy teraz dokładniej symbol sigmy. Sam symbol oznacza oczywiście w matematyce operację sumowania. Powiedzmy na przykład, że mamy daną sumę od n = 1 do 3 z wyrażenia $$2n - 1$$. Widzimy, że n określone jest dla przedziału od 1 do 3, zatem pod n będziemy kolejno podstawiać n = 1, n = 2, n = 3, a następnie sumować otrzymane wyrażenia: $$[2 - 1] + [4 - 1] + [6 - 1] = 9$$. n nazywamy tutaj indeksem sumowania, po którym sumujemy dane wyrażenia. Całość w zapisie przedstaiwmy nastepująco: $$\sum\limits_{i=1}^3 (2i - 1)$$ I to właściwie wszystko co chciałem Wam przedstawić.
Dzięki za obejrzenie.
Czytaj dalej
