kategorie: matematyka
Witam Państwa,
W ostatnim materiale udało się nam przdstawić sumę Riemanna w notacji Sigma. Jednak pozostał pewien niedosyt związany oczywiście z pytaniem: "A po co to?".
Przypominasz sobie kiedy w pierwszym artykule poruszyliśmy temat, czym tak wogóle jest całka? Otóż całke w ogólności możemy definiować jako pole pod wykresem danej funckji określone przez sumę pól n figur, które pod tym wykresem na danym przedziale możemy sobie określić (odnośnie całki oznaczonej). Wyobraź więc sobie, że mamy pewien obszar, który udało się nam określić w notacji sigma. Mamy wówczas n prostokątów (jeżeli akurat taką figurę wybraliśmy) na konkretnym przedziale osi OX. I teraz będzie magia: Jeżeli przyjmiemy że ów n zmierzać będzie do nieskończoności (granica) to wówczas granica z ów sumy Riemanna określona w zależności od n da nam dokładną wartość pola pod wykresem.
Dobra pora przejść do ściśłych przykładów, a nie błądzić w chmurach. Powiedzmy, że szukamy dokładnego pola pod wykresem funkcji: $$\frac{1}{5} * (x^2)$$, na przedziale od 2 do 6. Tak jak zawsze określmy na początku długość naszego przedziału na osi OX, będzie to zatem 6 - 2 = 4 = Dl, zatem nasze \(\Delta x\), ponieważ dzielimy ów obszar na n równych części wynosić będzie $$\frac{4}{n} = \Delta x$$. Teraz musimy sobie powiedzieć, czy bedziemy liczyć sumę Riemanna prawo lewo czy środkowostronną... Ja nabrałem dużej sprawności w prawej także ją tutaj wybiorę. Wiemy zatem, że wysokość każdego z prostokątów da nam wartość \(f(x_i)\), gdzie \(x_i\) jest oczywiście wartością argumentu funckji na osi OX w prawym dolnym rogu tego prostokąta. Mamy zatem: $$x_i = 2 + \Delta x * i = 2 + \frac{4}{n}*i$$. Widzimy zatem, że wartość naszej funkcji będzie dana nastepująco: $$f(x_i) = \frac{1}{5} * (x_i)^2 = \frac{1}{5} * (2 + \frac{4}{n} * i)^2$$. No i teraz, ponieważ ustalilismy, że chcemy mieć dokładną wartość pola musimy mieć więc n prostokątów, będziemy więc sumować od i = 1 do n z wyrażenia $$(2 + \frac{4}{n}) * i)^2 * \frac{4}{5n}$$. Następnie tylko do tej sumy dodajemy symbol granicy $$\lim_{n \to \infty}$$. I to jest tak właściwie w tym temacie wszystko :)
Ponieważ chcę jednak jak najwięcej treści zawrzeć w jak najkrótszym czasie, tak też żeby było empirystycznie jak najmniej treści, a jak najwięcej przykładów, musimy sobie jeszcze o czymś powiedzieć w tym artykule. zdecydowałem się opowiedzieć jeszcze o PODSTAWOWYM TWIERDZENIU RACHUNKU CAŁKOWEGO (chwila ciszy...). Nie bez powodu to dałem wielkimi literami. W skali ważności wiedzy o całkach temu twierdzeniu należy się zdecydowana 10/10. Pozwala ono na masakrycznie proste rozwiązywanie całek oznaczonych na DOWOLNYM przedziale. Wiem, brzmi świetnie ;) Powiedzmy zatem jak stosować to dziadostwo w praktyce. Od razu jednak zaznaczam, że nie będę Ci tutaj podawal formułek do wykucia, zapamiętaj soboie to zreszta jak chcesz byle żebyś umiał/a to dobrze napisać :) Zatem powiedzmy, że masz całke oznaczoną na przedziale od 0 do 10, powiedzy z funkcji $$f(x) = 1 * x$$. Specjalnie wybrałem taką łatwą funckję żeby pokazać Ci ideę. Żeby obliczyć taką całkę (pole pod wykresem tej funkcji na przedziale od 0 do 10) musisz wpierw obliczyć funkcję pierwotną do funkcji 1 * x. Ta operacja znajdowania funkcji pierwotnej do danej nazywa się własnie znajdowaniem całki nieoznaczonej z danej funkcji. Ta operacja jest operacją odwrotną do wyznaczania pochodnej danej funkcji jeżeli ma Ci to pomóc w zrozumieniu (dlatego mówiłem Ci żebyś najlepiej wykuł/a te wzory na pochodne, na pamięć, bo serio są one BARDZO PRZYDATNE!). Zatem jaka będzie funkcja pierwotna do funkcji x? No pomyślmy... Jaka funckja po zróżniczkowaniu da nam w wyniku x? Oczywiście będzie to $$\frac{x^2}{2}$$, ponieważ jeżeli odejmiesz teraz od wykładnika tej funkcji jedynkę i przeniesiesz liczbę w wykładniku przed x (zgodnie z definicją liczenia pochodnej), to dwójki Ci się uproszczą i otrzymasz samo 1 * x. No i brawo własnie określiłeś całkę nieoznaczoną z funkcji x! Teraz mając wiedzę o całce nieonaczonej z tej funckji należy dokonać operacji róznicy na danym określonym przedziale, w tym wypadku na od 0 do 10, zatem: $$\frac{10^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 50$$. Zatem pole pod wykresem funkcji x na przedziale od 0 do 10 (caka oznaczona) jest równe 50. Zatem powtórzmy czynności jak stosować to twierdzenie w praktyce (niech Ci będzie... ;) podam "treść" tego twierdzenia na końcu artykułu, przeczytasz jak będziesz chciał/a ;) ).
1) Znajdź całkę nieoznaczoną (funkcję pierwotną) z danej funkcji.
2) Dokonaj różnicy z tej funkcji pierwotnej na początkowym przedziale
3) Zapisz wynik i voil'a!
Zatem powiedzmy sobie teraz o formalnej definicji tego co zastosowaliśmy w praktyce: "Jeżeli zdefiniować funkcję jako całkę oznaczoną z innej funkcji f, to nowa funkcja jest funkcją pierwotną f. Zatem aby znaleźć całkę oznaczoną z f na przedziale od a do b, należy znaleźć funkcję pierwotną f, oznaczoną jako F i obliczyć F(b) - F(a)". Jednak tak jak już powiedziałem jest to jedynie kolejna mądra regułka nikomu nie potrzebna do szczęścia jeżeli tylko odnajduje się w samej regule jak to zrobić. Dzięki za przeczytanie.
Pozdro ;)
Czytaj dalej
